関数の増減と極大・極小

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関数の極大・極小，最大・最小

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\(f'>0\) ⇒ 単調増加
\(f'<0\) ⇒ 単調減少
\(a\) で極値 ⇒ \(f'(a)=0\)

問題A. \(y=x^3-6x^2+9x-3\) の極値を求めよ．

\(y'=3x^2-12x+9\) \(=3(x-1)(x-3)\)
　

\(x\) … 1 … 3 …

\(y'\) + 0 - 0 +

\(y\) ? 1 ? -3 ?

よって，極大値 \(1\)，極小値 \(-3\) ．

\(x\)	…	1	…	3	…
\(y'\)	+	0	-	0	+
\(y\)	?	1	?	-3	?

問題B. \(y=x^4-4x\) の極値を求めよ．

\(y'=4x^3-4\) \(=4(x^3-1)\)
　

\(x\) … 1 …

\(y'\) - 0 +

\(y\) ? -3 ?

よって，極大値なし，極小値 \(-3\) ．

\(x\)	…	1	…
\(y'\)	-	0	+
\(y\)	?	-3	?

問題C. \(y=\sin x+\cos x\) の \(0\le x \le \pi\) における最大値，最小値を求めよ．

\(y'=\cos x-\sin x\)
　

\(x\) 0 … \(\frac{\pi}{4}\) … \(\pi\)

\(y'\) + 0 -

\(y\) 1 ? \(\sqrt{2}\) ? -1

よって，最大値 \(\sqrt{2}\) ，最小値 \(-1\) ．

\(x\)	0	…	\(\frac{\pi}{4}\)	…	\(\pi\)
\(y'\)		+	0	-
\(y\)	1	?	\(\sqrt{2}\)	?	-1

問題D. 関数 \(y=-x^3+3x^2-a\) の極大値と極小値がともに負となるように，定数 \(a\) の値の範囲を定めよ．

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よって，極大値 \(1\)，極小値 \(-3\) ．
======= \(y'=-3x^2+6x\) \(=-3x(x-2)\)
　

\(x\) … 0 … 2 …

\(y'\) - 0 + 0 -

\(y\) ? -a ? 4-a ?

条件は \(-a<0\) ，\(4-a<0\) となるので， \(a>4\) ．

\(x\)	…	0	…	2	…
\(y'\)	-	0	+	0	-
\(y\)	?	-a	?	4-a	?

問題E. 関数 \(y=x^3+ax^2+bx+c\) （ \(a,b,c\) は定数）が \(x=1\) で極大になり，\(x=3\) で極小になるとき，極大値と極小値の差を求めよ．

\(y'=3x^2+2ax+b\)
\(x=1,3\) で \(y'=0\) となるので，
\[\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3+2a+b=0 \\ 27+6a+b=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}\]
よって，\(a=-6, b=9\) ．
関数は \(y=x^3-6x^2+9x+c\) となり， \(x=1\) での値と \(x=3\) での値の差は，
\((1-6+9+c)-(27-54+27+c)\) \(=4\) ．
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練習問題B. \(y=\) の極値を求めよ．

不定形の極限

ロピタルの定理

\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}\) か \(\frac{\infty}{\infty}\) ならば，
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

問題A. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^3-2x^2-3x+4}{-x^3+x^2+2x-2}\) の極限値を求めよ．

分子，分母ともに \(0\) に収束するので，
\(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{3x^2-4x-3}{-3x^2+2x+2}\) \(=-4\)

問題B. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log(1+x^2)}{x}\) の極限値を求めよ．

分子，分母ともに \(0\) に収束するので，
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x}{1}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2x}{x^2+1}\) \(=0\)

問題C. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2\cos x-2+x^2}{x^4}\) の極限値を求めよ．

分子，分母ともに \(0\) に収束するので，
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{-2\sin x+2x}{4x^3}\) ．
まだ分子，分母ともに \(0\) に収束するので，
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{-2\cos x+2}{12x^2}\) ．
まだ分子，分母ともに \(0\) に収束するので，
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2\sin x}{24x}\) ．
まだ分子，分母ともに \(0\) に収束するので，
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2\cos x}{24}\) \(=\frac{1}{12}\)

問題D. \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \sqrt[x]{x}\) の極限値を求めよ．

\(y=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \sqrt[x]{x}\) とすると，
\(\log y=\log \lim\limits_{x\rightarrow \infty} {x}^\frac{1}{x}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \log {x}^\frac{1}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \log {x}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{\log {x}}{x}\) ．
分子，分母ともに \(\infty\) に収束するので，
\(\log y=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\) \(=0\)
よって，\(y=1\) ．

この資料と解答はwebで公開しています：

西村のオフィシャルサイト（「大分高専西村」で検索）→ 一番下のリンク → 授業 → 2S ALH

解説及び問題は下記より：
　高遠節夫他，「新微分積分I問題集」，大日本図書