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2S-ALH @2017/07/24 “微分積分I 期末試験対策”

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関数の増減と極大・極小

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関数の極大・極小，最大・最小

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問題A. y=x3−6x2+9x−3 の極値を求めよ．

y′=3x2−12x+9 =3(x−1)(x−3)
　
x … 1 … 3 …
y′ + 0 - 0 +
y ? 1 ? -3 ?

よって，極大値 1，極小値 −3 ．

問題B. y=x4−4x の極値を求めよ．

y′=4x3−4 =4(x3−1)
　
x … 1 …
y′ - 0 +
y ? -3 ?

よって，極大値なし，極小値 −3 ．

問題C. y=sinx+cosx の 0≤x≤π における最大値，最小値を求めよ．

y′=cosx−sinx
　
x 0 … π4 … π
y′ + 0 -
y 1 ? √2 ? -1

よって，最大値 √2 ，最小値 −1 ．

問題D. 関数 y=−x3+3x2−a の極大値と極小値がともに負となるように，定数 a の値の範囲を定めよ．

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よって，極大値 1，極小値 −3 ．

======= y′=−3x2+6x =−3x(x−2)
　
x … 0 … 2 …
y′ - 0 + 0 -
y ? -a ? 4-a ?

条件は −a<0 ，4−a<0 となるので， a>4 ．

問題E. 関数 y=x3+ax2+bx+c （ a,b,c は定数）が x=1 で極大になり，x=3 で極小になるとき，極大値と極小値の差を求めよ．

y′=3x2+2ax+b
x=1,3 で y′=0 となるので，
{3+2a+b=027+6a+b=0

よって，a=−6,b=9 ．
関数は y=x3−6x2+9x+c となり， x=1 での値と x=3 での値の差は，
(1−6+9+c)−(27−54+27+c) =4 ．

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練習問題B. y= の極値を求めよ．

不定形の極限

ロピタルの定理

limx→af(x)g(x)=00 か ∞∞ ならば，
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)

問題A. limx→1x3−2x2−3x+4−x3+x2+2x−2 の極限値を求めよ．

分子，分母ともに 0 に収束するので，
limx→13x2−4x−3−3x2+2x+2 =−4

問題B. limx→0log(1+x2)x の極限値を求めよ．

分子，分母ともに 0 に収束するので，
limx→011+x2⋅2x1 =limx→02xx2+1 =0

問題C. limx→02cosx−2+x2x4 の極限値を求めよ．

分子，分母ともに 0 に収束するので，
limx→0−2sinx+2x4x3 ．
まだ分子，分母ともに 0 に収束するので，
limx→0−2cosx+212x2 ．
まだ分子，分母ともに 0 に収束するので，
limx→02sinx24x ．
まだ分子，分母ともに 0 に収束するので，
limx→02cosx24 =112

問題D. limx→∞x√x の極限値を求めよ．

y=limx→∞x√x とすると，
logy=loglimx→∞x1x =limx→∞logx1x
=limx→∞1x⋅logx =limx→∞logxx ．
分子，分母ともに ∞ に収束するので，
logy=limx→∞1x1 =limx→∞1x =0
よって，y=1 ．

　
　
　

この資料と解答はwebで公開しています：

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解説及び問題は下記より：
　高遠節夫他，「新微分積分I問題集」，大日本図書