2017/05/24 2S ALH

関数の極限と導関数

極限値の性質

\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \{f(x)\pm g(x)\}=\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\pm \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} cf(x)=c\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \{f(x)g(x)\}=\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)}\)

問題A. \(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x^4\) の極限値を求めよ．

　
　
　

問題B. \(\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2+2x-3)\) の極限値を求めよ．

　
　
　

問題C. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^3+2x}{3x}\) の極限値を求めよ．

　
　
　

　
　

三角関数・指数関数の極限値

\(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1\)
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h}=1\)
\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} (1+t)^\frac{1}{t}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} (1+\frac{1}{x})^x=e\)

問題A. \(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\sin \pi\theta}{\theta}\) の極限値を求めよ．

　
　
　

問題B. \(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta}{\tan 3\theta}\) の極限値を求めよ．

　
　
　

問題C. \(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta\sin 3\theta}{1-\cos 3\theta}\) の極限値を求めよ．

　
　
　

微分係数（変化率）

\(f'(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

問題A. \(f(x)=x^3\) の \(x=1\) における微分係数を求めよ．

　
　
　

問題B. \(f(x)=\sqrt{x}\) の \(x=4\) における微分係数を求めよ．

　
　
　

問題C. \(f(x)=x^2-x\) の \(x=1\) における微分係数を求めよ．

　
　
　

導関数

\(f'(x)=\lim\limits_{X\rightarrow a} \frac{f(X)-f(x)}{X-x}\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

問題A. \(y=x^2-x\) の導関数を求めよ．

　
　
　

問題B. \(y=x^3+2\) の導関数を求めよ．

　
　
　

導関数の性質

\((c)'=0\)，\((cf)'=cf'\)，\((f\pm g)'=f'\pm g'\)
\((fg)'=f'g+fg'\)
\((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
\(\{f(ax+b)\}'=af'(ax+b)\)

（よく使う公式： \((x^r)'=rx^{r-1}\)）

問題A. \(y=x^4-2x^3+x\) を微分せよ．

　
　

問題B. \(y=\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x-1\) を微分せよ．

　
　

問題C. \(y=(x+1)(x^2-x+1)\) を微分せよ．

　
　

導関数の公式

\((x^r)'=rx^{r-1}\)
\((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)，\((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\((e^x)'=e^x\)，\((a^x)'=a^x\log a\)

問題A. \(y=\sin(2-3x)\) を微分せよ．

　
　
　

問題B. \(y=\tan(x-2)\) を微分せよ．

　
　
　

問題C. \(y=e^{2x+5}\) を微分せよ．

　
　

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解説及び問題は下記より：
　高遠節夫他，「新微分積分I問題集」，大日本図書