関数の極限と導関数

問題A. \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (\sqrt{x+4}-\sqrt{x})\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x+4-x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}\)
\(=\frac{4}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (\sqrt{x+4}+\sqrt{x})}\)
\(=0\)

問題B. \(\lim\limits_{h\rightarrow 0} (1+h)^{-\frac{1}{h}}\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \{(1+h)^\frac{1}{h}\}^{-1}\)
\(=\{\lim\limits_{h\rightarrow 0} (1+h)^\frac{1}{h}\}^{-1}\)
\(=e^{-1}=\frac{1}{e}\)

問題C. \(f(x)=x^2+x\) の \(x=a\) における微分係数 \(f'(a)\) を定義に従って求めよ．

\(\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{(a+h)^2+(a+h)-(a^2+a)}{h}\)
\(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}(a^2+2ha+h^2+a+h-a^2-a)\)
\(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}(2ha+h^2+h)\)
\(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} (2a+h+1)\)
\(=2a+\lim\limits_{h\rightarrow 0} h+1=2a+1\)

問題D. \(y=\frac{3x-1}{x^2-5}\) を微分せよ．

\(y'=\frac{(3x-1)'(x^2-5)-(3x-1)(x^2-5)'}{(x^2-5)^2}\)
　\(=\frac{3(x^2-5)-2x(3x-1)}{(x^2-5)^2}\)
　\(=\frac{3x^2-15-6x^2+2x}{(x^2-5)^2}\)
　\(=\frac{-3x^2+2x-15}{(x^2-5)^2}\)

問題E. \(y=2^{-x+1}\) を微分せよ．

公式より \((2^x)'=2^x\log 2\) であるので，
\(y'=-2^{-x+1}\log 2\)

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問題は下記より：
　高遠節夫他，「新微分積分I問題集」，大日本図書