2017/05/17 2S ALH

1. 場合の数

順列

\(_nP_r = n(n-1)(n-2)\cdots (n-r-1)\)
　　\(= \frac{n!}{(n-r)!}\)

問題A. \(_5P_3\) の値を求めよ．

問題B. \(_7P_2\) の値を求めよ．

問題C. 5個の文字 a,b,c,d,e を全部並べるとき，両端が子音のものはいくつできるか.

組合せ

\(_nC_r = \frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

問題A. \(_5C_2\) の値を求めよ．

問題B. \(_{10}C_4\) の値を求めよ．

問題C. \(1,2,3,\cdots ,9\) の数字を1つずつ書いた9枚の礼が入っている箱から3枚を取り出したとき，3枚とも偶数の場合は何通りあるか．

二項定理

\((a+b)^2\)
　\(=a^n+\) \(_nC_1a^{n-1}b+\) \(_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots\)
　　\(\cdots+\) \(_nC_ra^{n-r}b^r+\cdots +\) \(_nC_{n-1}ab^{n-1}+b^n\)

問題A. \((a+b)^5\) を展開せよ．

問題B. \((1-x)^7\) を展開せよ．

問題C. \((2x-5)^8\) の展開式における \(x^5\) の係数を求めよ．

2. 数列

等差数列

\(a,\) \(a+d,\) \(a+2d,\) \(a+3d,\) \(\cdots\)
（初項 \(a\), 公差 \(d\)）
一般項： \(a_n=a+(n-1)d\)

問題A. 初項が \(5\)，第4項が \(14\) の等差数列の一般項を求めよ．

問題B. 第3項が \(10\)，第10項が \(3\) の等差数列の一般項を求めよ．

問題C. 初項が \(-68\)，公差が \(4\) の等差数列がはじめて正の数になるのは第何項か．

等比数列

\(a,\) \(ar,\) \(ar^2,\) \(ar^3,\) \(\cdots\)
（初項 \(a\), 公比 \(r\)）
一般項： \(a_n=a\cdot r^{(n-1)}\)

問題A. \(2,\Box,\Box,-16,32,\cdots\) が等比数列になるように，\(\Box\) にあてはまる数を入れよ：

問題B. \(-1,\Box,\Box,\Box,-\frac{1}{16},\cdots\) が等比数列になるように，\(\Box\) にあてはまる数を入れよ：

問題C. 初項が \(\frac{1}{12}\)，第4項が \(\frac{9}{4}\) の等比数列の第10項を求めよ．

漸化式

\(a_1=a,\)
\(a_{k+1}=\)【\(a_k\) を含む式】 \((k=1,2,3,\cdots)\)

問題A. 漸化式 \(a_1=1, a_{k_1}=a_k+2\) で表される数列のはじめの5項を求めよ．

問題B. 漸化式 \(b_1=2, b_{k-1}=2b_{k-1}\) で表される数列のはじめの5項を求めよ．

問題C. 漸化式 \(c_1=-1, c_{k+1}=c_k+3\) で表される数列の一般項を求めよ．

グループ問題

問題A. 1から5までの数字を繰り返し使用することを許して4けたの整数をつくると，全部でいくつできるか．

問題B. 8個の数字4,4,4,5,5,5,6,6を使ってできる8けたの整数は何個あるか．

問題C. 第2項が \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，第4項が \(\sqrt{2}\) の等比数列の第10項を求めよ．

問題D. 漸化式 \(a_1=1, a_{k+1}=3a_k+1\) で表される数列の一般項を求めよ．

この資料と解答はwebで公開しています：
情報工学科のサイト（「大分高専情報」で検索）→ スタッフ紹介（教職員紹介） → 西村俊二 → 一番下のリンク → 2S ALH

解説及び問題は下記より引用：
　新井一道他，「新基礎数学問題集」，大日本図書