2017/05/24 2S ALH

関数の極限と導関数

極限値の性質

\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \{f(x)\pm g(x)\}=\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\pm \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} cf(x)=c\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \{f(x)g(x)\}=\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)}\)

問題A. \(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x^4\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{x\rightarrow 2} x\cdot x\cdot x\cdot x\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 2} x\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 2} x\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 2} x\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 2} x\)
\(=(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x)^4=2^4=16\)

問題B. \(\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2+2x-3)\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x+3)(x-1)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x+3) \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 2} (x-1)\)
\(=5\cdot 1=5\)

問題C. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^3+2x}{3x}\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{x\rightarrow 0} (\frac{x^3}{3x}+\frac{2x}{3x})\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{3} +\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2}{3}\)
\(=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)

　
　

三角関数・指数関数の極限値

\(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1\)
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h}=1\)
\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} (1+t)^\frac{1}{t}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} (1+\frac{1}{x})^x=e\)

問題A. \(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\sin \pi\theta}{\theta}\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\pi\sin \pi\theta}{\pi\theta}\)
\(=\pi\lim\limits_{\pi\theta\rightarrow 0} \frac{\sin \pi\theta}{\pi\theta}\)
\(=\pi\cdot 1=\pi\)

問題B. \(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta}{\tan 3\theta}\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta}{\frac{\sin 3\theta}{\cos 3\theta}}\) \(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \cos 3\theta\)
\(=\frac{1}{\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\sin 3\theta}{\theta}}\lim\limits_{3\theta\rightarrow 0} \cos 3\theta\)
\(=\frac{1}{\lim\limits_{3\theta\rightarrow 0} 3\cdot \frac{\sin 3\theta}{3\theta}}\cdot 1\) \(=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}\)

問題C. \(\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta\sin 3\theta}{1-\cos 3\theta}\) の極限値を求めよ．

\(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta\sin 3\theta(1+\cos 3\theta)}{(1-\cos 3\theta)(1+\cos 3\theta)}\) \(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta\sin 3\theta(1+\cos 3\theta)}{1^2-\cos^2 3\theta}\)
\(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta\sin 3\theta(1+\cos 3\theta)}{\sin^2 3\theta}\) \(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{\theta(1+\cos 3\theta)}{\sin 3\theta}\)
\(=\lim\limits_{\theta\rightarrow 0} \frac{1+\cos 3\theta}{3\cdot\frac{\sin 3\theta}{3\theta}}\) \(=\frac{1+\lim\limits_{3\theta\rightarrow 0} \cos 3\theta}{3\cdot\lim\limits_{3\theta\rightarrow 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta}}\) \(=\frac{1+1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}\)

微分係数（変化率）

\(f'(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

問題A. \(f(x)=x^3\) の \(x=1\) における微分係数を求めよ．

\(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^3-1^3}{x-1}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 1} (x^2+x+1)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 1} x^2+\lim\limits_{x\rightarrow 1} x+1\) \(=3\)

問題B. \(f(x)=\sqrt{x}\) の \(x=4\) における微分係数を求めよ．

\(\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{x-4}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}\) \(=\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow 4} \sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}\)

問題C. \(f(x)=x^2-x\) の \(x=1\) における微分係数を求めよ．

\(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-x-(1^2-1)}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-x}{x-1}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow 1} x=1\)

導関数

\(f'(x)=\lim\limits_{X\rightarrow a} \frac{f(X)-f(x)}{X-x}\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

問題A. \(y=x^2-x\) の導関数を求めよ．

\(\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-(x+h)-(x^2-x)}{h}\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}(x^2+2hx+h^2-x-h-x^2+x)\)
\(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}(2hx+h^2-h)\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} (2x+h-1)\)
\(=2x+\lim\limits_{h\rightarrow 0} h-1=2x-1\)

問題B. \(y=x^3+2\) の導関数を求めよ．

\(\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^3+2-(x^3+2)}{h}\) \(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}(3hx^2+3h^2x+h^3)\)
\(=\lim\limits_{h\rightarrow 0} (3x^2+3hx+h^2)\)
\(=3x^2+\lim\limits_{h\rightarrow 0} 3hx+\lim\limits_{h\rightarrow 0} h^2\) \(=3x^2\)

導関数の性質

\((c)'=0\)，\((cf)'=cf'\)，\((f\pm g)'=f'\pm g'\)
\((fg)'=f'g+fg'\)
\((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
\(\{f(ax+b)\}'=af'(ax+b)\)

（よく使う公式： \((x^r)'=rx^{r-1}\)）

問題A. \(y=x^4-2x^3+x\) を微分せよ．

\(y'=4x^3-2\cdot 3x^2+1\)
　\(=4x^3-6x^2+1\)

問題B. \(y=\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x-1\) を微分せよ．

\(y'=\frac{2}{3}\cdot 3x^2+\frac{1}{2}\)
　\(=2x^2+\frac{1}{2}\)

問題C. \(y=(x+1)(x^2-x+1)\) を微分せよ．

\(y=x^3-x^2+x+x^2-x+1\)
　\(=x^3+1\) よって \(y'=3x^2\)

導関数の公式

\((x^r)'=rx^{r-1}\)
\((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)，\((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\((e^x)'=e^x\)，\((a^x)'=a^x\log a\)

問題A. \(y=\sin(2-3x)\) を微分せよ．

\(y'=(\sin (-3x+2))'\)
（導関数の性質の4番目より）
　\(=-3\sin'(-3x+2)\) \(=-3\cos(2-3x)\)

問題B. \(y=\tan(x-2)\) を微分せよ．

\(y'=(\tan (x-2))'\)
　\(=\tan' (x-2)\) 　\(=\frac{1}{\cos^2 (x-2)}\)

問題C. \(y=e^{2x+5}\) を微分せよ．

（導関数の性質の4番目より）
\(y'=2e^{2x+5}\)

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解説及び問題は下記より：
　高遠節夫他，「新微分積分I問題集」，大日本図書